サーバーサイドでの保存がSessionなら、クライアントサイドでの保存はViewState。
Control.ViewState プロパティ (System.Web.UI) | Microsoft Docs
基本的には、ビューの状態をクライアント側で保持しておく為のものだけど。
Default.aspxで、
ViewStateの型を出してみる。
StateBagかな。
Sample/aspnet/Control/ViewState/src/Control_ at master · bg1bgst333/Sample · GitHub